罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展

1、提出集合论悖论的数学家罗素是哪国人

(1)、在古代，面积计算公式如正方形、长方形、梯形是最早被发现的。在π未被发现之前，圆的面积计算就是一个大问题。突破是从古代希腊数学家阿基米德(前287-前212)开始的，他采用穷竭法(解释参见附录)，求出了圆的近似面积；后来又采用此法解决了抛物线弓形面积的计算。中国晋代的刘徽(约225-约295)使用割圆术求出了圆周率代表中国数学最高成就的《九章算术》，列举了很多实用的计算方法，其中包括各种面积的计算当然，凭借经验和智慧，世界各地的人民也都发明了各种计算面积的实用方法。

(2)、当我们引入约束力和摩擦力的时候还要做出一些其他假设。

(3)、(以)尤瓦尔·赫拉利2012:《人类简史:从动物到上帝》中信出版社中译本2014

(4)、集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。

(5)、这种方法很久以前就有人设想(特别是经过弗雷格的深入研究);它在敏锐的数学家和逻辑学家罗素那里中得到了最为成功的阐释.人们可以将逻辑的公理化这一罗素的宏伟事业的完成视作整个公理化工作的顶峰.

(6)、  (2)BooleG.TheMathematicalAnalysisofLogic(M).Cambridge:Macmillan,18

(7)、1929谓词演算的完全性问题由哥德尔加以肯定解决.

(8)、(13)数学史上共出现三次危机，第一次是无理数的发现，第三次是罗素悖论的提出。

(9)、公理化集合系统，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。

(10)、1870年和1871年，康托尔证明了唯一性定理；1872年，他把海涅提出的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形，然后为了描述这种集合，他引进了点集的导集和导集的导集等重要概念。

(11)、keyanquan@huanqiukexue.com,

(12)、在微积分中，有一个以两人命名的牛顿-莱布尼茨公式，如下：

(13)、表面上，对经典力学中质量的概念进行复杂而不精确的辩护形成了一个悖论：这个摇摇晃晃的结构怎样成功地支撑起极其精确而又成功的天体力学的预言的呢？答案是，它绕开了质量的概念。天体力学中的力是引力，并且与质量成正比，于是方程F=ma两边的m就可以消去。从描述引力引起的运动的方程两边消去质量是广义相对论的基本原理。在广义相对论中，路径被视为弯曲时空中的测地线，而不涉及到质量。

(14)、皮亚诺最早呼吁人们注意选择公理，在1890年他曾写道，不能无限次地使用任何关于从许多类中的每一类选取一个元素的公理。在他处理的问题(微分方程的可积性)中，他给出了一个确定的选择法则，从而解决了困难。列维在1902年同样认同了这条公理，施密特则在1904年把它推荐给了策梅洛。

(15)、(1)数序列N是个体或元素的一个系统,称为数.

(16)、说到解决无穷，在说到康托尔之前不得不提的就是这位先驱——波尔查诺。

(17)、另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的范围上进行的。

(18)、两千多年前，古希腊的学者率先注意到生活中的无穷问题，并主动开始进行研究。

(19)、在氘氚反应中，质量不严格守恒，虽然粒子的运动速度并不接近光速，但仍然在此过程一开始就产生了(非相对论的)动能。相对论的能量当然守恒，可尽管如此，却不存在有效的方法将它分成各自守恒的两部分。在假想实验中，通过调整质量，我们能够使这个问题在任意低速的情况下出现。另外一个实现缓慢运动的方法是让释放出的质能分配到众多物体中去。

(20)、亚里士多德认为，这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不相等的。

2、罗素悖论的数学例子

(1)、一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把(康托的)集合论当作一种疾病”等等。由于两千年来无穷概念数学带来的困难，也由于反对派的权威地位,康托的成就不仅没有得到应有的评价，反而受到排斥。1891年，克罗内克去世之后，康托的处境开始好转。

(2)、在将近两千年的时间里,欧几里得几何一直是数学严格性的典范.整个知识界也都接受了这样一种信念,即欧几里得几何的公理是关于物理世界的真理,这些真理是如此透彻和显然,任何一个具有理性的头脑都不可能质疑它们.因为几何公理是真理,又因为定理是从公理逻辑地推导出的结果,所以整个欧几里得几何汇集了关于物理世界的模型和现象的无可争辩的真理.

(3)、另一方面，这时的数学，还只是停留在一个静止的状态，“我们已经看到，希腊几何主要研究的是形状，而不是变化，因而函数概念还没有发展起来”

(4)、正是有了这些用途，在我们的生产及生活中(当然也包括科学研究中)，都离不开微积分。从大的方面讲，可以通过微积分计算宇宙飞船何时达到指定地点，一个城市交通如何进行最优规划；对一个企业而言，生产一个产品如何用最少的材料(如造船和工程建筑)、企业生产何种组合利润实现最大化；就是针对一个家庭，可以用它计算“做一件大褂需要多少布、包(顿)饺子需要多少馅”(3)？

(5)、公理系统的出现让集合论顺理成章地成功公理化，而德国数学家豪斯道夫出版的《集合论大纲》则让集合论顺利成为了系统的学科，致使后来慢慢地成为现代数学的基础。

(6)、当年，集合论的诞生所引发的悖论，不但引起了人们对集合论的质疑，更是直接引发了第三次数学危机。为了解决危机，数学家们尽管内心十分不情愿但还是全身心地投入到集合论的改造中，即对康托尔的集合定义加以限制。

(7)、 keK1ekxeN.xek:Ɔx.x+1ek::Ɔ.NƆk.

(8)、放射性是破坏原子核完整性的一个例外。更一般地说，在核物理与粒子物理研究中遇到的那些极端情况下，动力学隔离的假设也必须摈弃。在那些场合，质量守恒完全失效。例如常见的衰变反应π0→γγ中，大质量的π0粒子衰变成零质量的光子。

(9)、数学上真正麻烦的矛盾开端是由罗素在1902年提出并告知弗雷格的。当时弗雷格正准备付印他的《算术的基本法则》的第二卷，在那本书里他正试图建立有关数系基础的新方法(我们将在下一章中对此多加讨论)。弗雷格所用的集合或类的理论正好涉及了罗素在致他的信中所提到的矛盾，其内容在罗素的《数学的原理》(PrinciplesofMathematics，1903)中有提及。罗素研究了康托尔的所有集合组成的集合悖论，并有了他自己的观点。

(10)、不过虽然希帕索斯死了，但是又有更多的学者发现了√√√5等等。这次数学危机导致纯代数的地位直线下降，而几何学的地位则上升了很多。并且还形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，这次数学危机让东西方数学走上了不同的道路。

(11)、事实上，正是布劳威尔作为直觉主义者，给出了对数学基础三大流派的区分。他认为，逻辑主义与形式主义并没有什么区别，它们都致力于证明数学实体在语言上的存在，而重要的是用直觉来证明数学实体的“存在”。(ErnstSnapper，1979)心灵、直觉的位置现在被放得很高，高于一切传统，1908年，布劳威尔写就《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的，同时，布劳威尔也反对运用反证法做出证明，他能接受的证明只能通过正面、有限步骤的构造完成——这无疑使得古典数学里大部分内容都在这种立场下失去意义。“经典数学并非完美，需要重建基础”，这也是直觉主义者们的宣言。直觉主义者在倾向(唯名程度)上的温和与他们在行动(对证明要求)上的激进形成了有趣的对照，这或许有些像当代一些持社会建构论立场的人的姿态表达。

(12)、为了比较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。

(13)、但是当集合论的讨论越来越多，在数学界的影响越来越大时，人们发现了一个有关的悖论，那就是有名的罗素悖论。

(14)、但是，这个想法经受不住严格的推敲。考虑到我们通常是怎样处理基本粒子之间的反应和衰变时，它就明显地表现出逻辑上的漏洞。

(15)、试从哥德尔不完全性定理出发，说明形式算术系统mathscr{N}存在非标准模型(标准模型即指自然数集)。

(16)、亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事，这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。

(17)、正如曾多次发生过的一样，数学家们先是无意识地应用了某条公理，后来才不仅意识到了对它的应用，而且还得去考虑接纳这样一条公理的基础。康托尔曾在1887年无意识地应用选择公理去证明任意无限集合都有一个基数为ℵ0的子集。选择公理还曾被含蓄地运用于拓扑学、测度论(measuretheory)、代数和泛函分析的诸多证明中。例如，它曾被用来证明在一有界的无限集合中可以选取一个收敛于该集合中一极限点(limitpoint)的序列。作为最基本的应用，它还被用来从有关整数的皮亚诺公理出发来构造实数。还有一个应用是证明一个有限集合的幂集，即由一个有限集合的所有子集组成的集合都是有限的。1923年，希尔伯特称此公理对于数学推理的基本原理而言是不可或缺的普遍公理。

(18)、我未来的工作不得不完全投入到抽象意义上的纯粹数学.我将尽全力去阐明人们在分析中确实发现的那些惊人的含糊不清之处.令人奇怪的是,这样一个完全没有计划和体系的分析竟还有那么多人研究过它.更糟糕的是,从没有人严格地处理过分析.在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的.人们到处发现这种从特殊到一般的拙劣推理方法,而特别奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论.

(19)、到了1734年，英国大主教贝克莱驳斥微积分理论(本质是反科学)，指出了著名的贝克莱悖论，该悖论把当时微积分中最大缺陷暴露了出来：

(20)、历史似乎一再重复自身，这使得我们不得不在开展对数学基础三大流派的讨论前先对中世纪共相(universal)问题及其流派予以说明。

3、罗素悖论 集合论

(1)、数理逻辑就课程内容而言，绝对是一门好课，它生动地展现了人们在严谨逻辑论证的追求上孜孜不倦的探索过程。从这一点上说，数理逻辑和其他数学课似乎没有什么区别，无非都是强调任何一个定理都需要严谨的证明，但是数理逻辑的奥秘在于，它试图将人类主观的推理思维过程客观化，并建立起主观推理与客观证明之间的联系，这一点是很奇妙的。

(2)、另外，想了解每位数学家对微积分的实际贡献。请参阅(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年。

(3)、让我们来看看罗素在《数学原理》(PrincipiaMathematica)中提出的例子。排中律说所有命题非对即错，但是这个定律自身也是一个命题，因此尽管它的意图是断言逻辑定律的真实性，但它既是一个命题则也有可能是错误的。正如罗素所言，这个定律毫无意义。

(4)、对这段话的要点摘录如下：1)形式主义者对数学的态度可能如布劳威尔所言，更接近于逻辑主义者，因为他们依旧在守护古典数学的完整形式传统；2)也可能更接近于并且超越了直觉主义者，因为他们同样在“数学符号的意义”这一问题上退让，并且直接退出了意义这一范畴；3)形式主义者对数学的态度这一问题不再重要，因为不论他们持怎样的动机、是否注意到这个问题有必要被思考，数学的形式化语言都得以在脱离哲学讨论、尤其是语言学讨论的状况下被保存；4)被保存的数学的形式化语言关涉的是共同承认的构造及推演(游戏)规则，“符号的游戏”参与者不必了解符号的意义，只需要了解并接受下来一套规则，就能在公理化体系下顺利地、卓有成效地推动符号的运作。

(5)、(6)S的一个元素n属于序列N当且仅当n是S的具有以下两个属性的任一部分K的一个元素:(i)元素1属于K,(ii)j(K)是K的一个部分.

(6)、它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

(7)、(5)特别,数1是唯一不在j(N)中的数.

(8)、微积分对传统数学(古典数学)的突破是从两个方面开始的。一个是“用一个一般的有效方法取代了这些特殊的有局限的计算面积的方法(是指十七世纪前，针对不同的形状发明出不同的面积计算方法，作者注)(4)”；另一个则是从静态发展到动态，“哲学家一般表现出对微积分的兴趣是由于它与运动和变化的问题联系起来，从而可以激起许多形而上学方面的讨论。(5)”

(9)、而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

(10)、(数学趣事)无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事

(11)、集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他的数论及代数才最可靠。因为自然数是上帝创造的，其余的是人的工作。他对康托尔的研究对象和论证手段都表示强烈的反对。由于柏林是当时的数学中心，克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康托尔及其集合论的发展前途的阻碍作用是非常大的。另一位德国的知觉主义者魏尔认为，康托尔把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一代将把(康托尔的)集合论当作一种疾病”等等。由于两千年来无穷概念数学带来的困难，也由于反对派的权威地位，康托尔的成就不仅没有得到应有的评价，反而受到排斥。1891年，克罗内克去世之后，康托尔的处境开始好转。

(12)、25个世纪以来，数学史上发生了多次危机：非欧几何对欧氏几何的冲击、无理数的发现及数的扩张、微积分带来的分析困境；集合论悖论和其他逻辑悖论出现……使得数学大厦一次次面临倒塌的危险……

(13)、罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗?用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎!”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论。

(14)、上述讨论过程也让我们清楚地明白，关于质量m也存在着一个较小的但非平凡的文化。确实，一般物质的质量守恒为物理定律的呈展提供了一个绝佳而又有启发性的例子。一句简单的表述就抓住了大范围规律性的要点，而此规律性的近代物理基础是坚实的但也是复杂的。在近代物理中，质量守恒的想法是非常错误的。 

(15)、一种对于逻辑主义和直觉主义的简单区分是，“逻辑主义主张类是被发现的，直觉主义主张类是被发明的”。逻辑主义者遵循实在论者，认为逻辑-数学有对应的外部世界实体，而直觉主义者是温和的唯名论者(概念论者)，他们认为，这种外部实体是不存在的，存在的只有“人心造作”。也就是说，直觉主义者在“数学符号的意义”这一问题上退让了一步，但尚且没有退出这个问题的疆界。现在，数学和逻辑不再具备与客观世界中的规律的自然对应关系，但是，在人们的心灵中，这些符号似乎仍然有着某种意义，尽管这种意义并不是通过被给予而得到的，而是人们自发在心灵世界中创造的。

(16)、罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x∉S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S。

(17)、还有另一个问题困扰着某些数学家。数学的公理化是同许多直觉上看来很明显的事实背道而驰的。的确，这场运动去除了一些矛盾和晦涩的东西，比如在分析领域就是如此。它同时也强调对于直觉上是显而易见的事物的清晰的定义、公理和证明，即便起初没人能明显察觉到对直觉的信赖(见第8章)。作为结果的演绎结构既复杂，而且涉及面又甚广。例如，基于整数公理的有理数特别是无理数的发展都显得琐碎而复杂，所有这些都给一些数学家，特别是克罗内克留下过于做作的印象。克罗内克是一个著名团体的领袖—他们觉得不必借助逻辑手段来使构造更可靠，人的直觉使人相信就足够了。

(18)、你认为Hilbert规划的失败是否是必然的？应当如何看待形式语言和自然语言之间的关系？

(19)、试说明Peirce定律((A oB) oA) oA可以代替命题逻辑系统L中的公理(L3)，并由此说明L只需要一个连接符来表达，即隐含。

(20)、说到集合论就得提起无穷，从萌芽到完善，集合论一直对无穷不离不弃。也正因如此，无穷的发展对于集合论而言是至关重要的。

4、罗素集合悖论解决了么

(1)、第7章不合逻辑的发展：19世纪的困境/185

(2)、亚里士多德认为芝诺的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。亚里士多德认为，这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。

(3)、1917/8希尔伯特在他的讲义中证明了命题演算的相容性,它常归功于波斯特.

(4)、当年，集合论的诞生所引发的悖论，不但引起了人们对集合论的质疑，更是直接引发了第三次数学危机。为了解决危机，数学家们尽管内心十分不情愿但还是全身心地投入到集合论的改造中，即对康托尔的集合定义加以限制。

(5)、另一方面,为了证明算术公理的相容性,就需要一种直接的方法.…我坚信,通过对无理数理论中熟知的推理方法的仔细研究和适当变更,一定能够找到算术公理相容性的直接证明.

(6)、(1)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P1

(7)、经过柯西(微积分收官人)用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！

(8)、  摘要：19世纪数学史上曾发生过两个重要事件，一个是非欧几何的发现，另一个是分析的严格化。这两个事件虽然互不相关，但却，殊途同归，最终都向了算术基础的研究。在本文中我们将试图揭示算术基础研闷如面促进时数理逻辑的产生和发展，以及这两方面之间的相互影响。

(9)、数理逻辑的基本目标，就是要研究这样的数学基础问题，而研究数学基础问题的第一步，就在于将自然语言实现严谨的公理化。然而自然语言又实在是太扑朔迷离，难以避免的歧义性甚至对我们关于同一命题的交流都会产生阻碍，因而数学家们转向创造一套形式语言，就像用字母代替数进行运算那样，我们也可以用形式语言来代替自然语言进行推理，进而通过对形式语言的公理化来达到自然语言的公理化目标。

(10)、为了测定可能的运动，我们必需确定所有进出粒子的质量。质量是孤立粒子的内禀性质，也就是说，所有的质子都具有相同的质量，而所有的电子又具有另一个相同的质量，等等。实际上，这些粒子的能量和动量都是由众所周知的公式给出，运动是由能量守恒和动量守恒来约束的。认为进入某个运动状态的质量的总和与离开的质量的总和相等基本上是不正确的。

(11)、波菲利(Porphyry)曾声称，对于一些“深奥的问题”，需要“进行更详细的检验”才能得出结论，从这些问题中，我们可以发现共相问题争论的核心：1)共相(属和种)是自身存在，还是仅仅存在于我们的概念之中；2)如果它们存在，那么它们是实体(物体)的，还是非实体(非物体)的；3)它们是自身独立存在，还是存在于并且依赖于感觉客体。

(12)、  (5)李文林.数学史概论(M).4版.北京:高等教育出版社,20

(13)、于是鳄鱼得意地说到：可以，那么你猜猜，我会不会吃掉你的孩子，如果你猜对了，我就把孩子还给你！

(14)、历史上出现过的数学悖论很多，数理逻辑是数学的研究方法，于是很多逻辑上的悖论，也归在数学门下，以下就是几个有趣的数学悖论：贝克莱悖论在17世纪，牛顿和莱布尼兹各自都独立创立了微积分，但是两人对微积分中“无穷小量”的定义不明确，导致了后来的第二次数学危机。

(15)、撰文弗兰克·维尔切克(FrankWilczek)

(16)、(课程)《Python机器学习与人工智能(快速班)》

(17)、(24)KahleR.DavidHilbertandPrincipiaMathematica(M).//GriffinN,LinskyB.(eds)ThePalgraveCentenaryCompaniontoPrincipiaMathematica,Basingstoke,Hampshire:PalgraveMacmillan,2013,21-

(18)、(23)HilbertD.Axiomaticthought(M).//EwaldWB.(ed.)FromKanttoHilbert:ASourceBookintheFoundationsofMathematics,Vol.2,Oxford:OxfordUniversityPress,2005,1105-11

(19)、如何将下面这个推理用形式语言表达？推理：因为

(20)、希泊索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。这一发现在我们如今看来是一件再正常不过的事情，但却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它不仅动摇了毕达哥拉斯学派在数学界的统治地位，而且对当时所有古希腊人的观念造成极大的冲击。

5、罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展吗

(1)、或许一个观念的胜利意味着彻底的“在手状态”。形式主义遵循“让数学卓有成效地、自律地发展”的信条，使得对于不自觉的形式主义者来说，反思自身观念的正当性成为了一件非(从数学出发)“自律”，由而也是非必要的事。当代，我们已经能看到众多这样的句子：

(2)、这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！

(3)、单个电子的质量如同它所带的电荷一样，是一个普适常量。电子不具有内部激发，电子数也守恒(如果我们忽略弱相互作用和电子对的产生的话)。这些事实都根植于量子场论。它们一起确保了电子质能的整体性。

(4)、(美)戴维·斯蒂普2017：《优雅的等式——欧拉公式与数学之美》中译本人民邮电出版社2018年

(5)、鳄鱼琢磨了一会愣住了，心想：我要是吃掉孩子，说明你猜对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃掉你的孩子，说明你猜错了，我又要吃掉你的孩子！分球悖论悖论意指自相矛盾的命题，但是在一些数学悖论中，也指代某些数学命题，只是该命题与人们的常识相悖，比如分球悖论就是这样的。

(6)、分球悖论，数学中一条经过严格证明的定理，可以描述为：一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球(半径相同，密度相同……所有性质都相同)。

(7)、(15)(美)William·Dunham 2005：《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》中译本人民邮电出版社2010年P1

(8)、1934/9希尔伯特和贝尔奈斯出版了他们合写的两卷本重要著作《数学基础》.

(9)、对共相问题的不同回答导致了实在论(realism)和唯名论(nominalism)立场的分歧，这种分歧以不同的激烈程度表现出来。极端的实在论者对这三个问题的回应是，共相是自身存在，它们是实体的，并且独立存在、不依赖于感觉客体，也就是说共相不仅是心灵的一般概念，而且在外部世界中有对应实体；温和的唯名论者也即概念论者认为，共相是一般概念，它们是非实体的，仅仅存在于心灵之中，是心灵对个别事物的个别性质加以概括抽象而得到的；而极端的唯名论者认为，共相不过是名词，它没有对应的外部存在，甚至不是一般概念，如果说它们存在的话，那也只不过是“声音”。

(10)、在一阶逻辑中，一阶公式A逻辑有效当且仅当(forallx_i)A逻辑有效，这是否意味着自由变元和约束变元之间不存在任何差别？结合Tarski的语义学谈谈你的理解。

(11)、该书全名《流数法与无穷级数》撰于1671年，这是牛顿在数学方面的代表作,其中将1666年10月的流数短论进行了扩充，其英译本于1736年出版。作者注。

(12)、在算术的公理化方面,佩亚诺某种程度上可以看成是戴德金的继承者.他本人曾在1889年出版的《用新方法阐述的算术原理》一书前言中写道(11,p.86):“戴德金最近的著作(1888)对于我也极其有帮助;在那里,有关数的基础的问题得到了仔细的考察.”下面是佩亚诺引入其公理的段落(11,p.94):

(13)、(2)(美)William·Dunham 2005：《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》中译本人民邮电出版社2010

(14)、牛顿为他的第三定律这样争辩：具有未被平衡的内力的系统会自发地开始加速，然而“这一现象从未被观察到”。但这种辩解实际上是直接导出了动量守恒定律。类似地，可以从物体不会自发旋转起来这一现象“推导”出角动量守恒。当然，纯粹从教学的观点，可以指出作用-反作用系统以及二体中心力是满足守恒律的简单途径。

(15)、  (15)RussellB.PortraitsfromMemoryandOtherEssays(M).NewYork:SimonandSchuster,19

(16)、1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。

(17)、逻辑传统上是附属于哲学的一门学科.虽然自古希腊时代起,数学与逻辑就密不可分,然而直到17世纪才出现数理逻辑的萌芽.按字面意思,数理逻辑就是使用数学方法研究逻辑推理.从莱布尼茨到布尔,数理逻辑的先驱们正是沿着这样一条思想路线开展他们的逻辑研究工作的.在莱布尼茨1696年写给瓦格纳(GabrielWagner)的一封信中,人们可以清楚地看到这一思想路线的明确表述(1,p.467):

(18)、尽管如此，科学家们依旧不断地摸索着，不料发现无穷虽极具潜力，但无力掌握，因此彻底掌握无穷问题成为了奋斗的目标。

(19)、康托尔一生深受磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十余年。康托尔虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论。康托尔不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫无穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托尔的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托尔在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。

(20)、力学的历史发展反映了一个类似的学习过程。牛顿在解释行星运动上获得了巨大的成功，他发现使用形式简单的力可以解释整个系统的行为。他在《原理》第二卷中对延展物体和流体之力学的尝试是突破性，但却没有决定性的结果，而且他几乎没有接触到力学中更实用的方面。后来，许多杰出的物理学家和数学家对于我们今天所理解的“力的文化”做出了重要的贡献，他们当中特别包括达朗贝尔(约束和接触力)、库伦(摩擦)，和欧拉(刚体、弹性物体和流体)。

(1)、P 设k是任何类,如果1ek,且对任何自然数n,有nek推出n+1ek,则k包含所有的自然数.

(2)、另一主题是说F=ma不是任何意义上的最终真理。从近代基础物理我们能理解，它是如何在广泛但却有限的情况下是作为近似出现的。同样，这并不妨碍它特别有用：它的一个主要优点是使我们免于承受为了追求不相关的精确而带来的不必要的麻烦。

(3)、虽然力本身不出现在现代物理的基本方程中，但这些方程显然包含着能量和动量，而力与这二者有着紧密的联系。所以力的概念没有远离现代物理的基础。不改变经典力学的内容，我们可以将力放入拉格朗日力学的语境中，只是在其中它不再是一个基础的量。但这只是一个技巧问题；更深一层的问题是：“力的文化”反映出哪些基本的东西？什么样的近似导致了它的出现？

(4)、(8)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P2

(5)、同希尔伯特的名字相联系的形式主义与直觉主义相呼应，也对逻辑主义者毫无约束地求助于共相这一点深感惋惜。但形式主义也觉得直觉主义是不能令人满意的。这可能出于两个相反理由中的任何一个。形式主义者可能象逻辑主义者一样，反对把古典数学弄得残缺不全，或者他可能象往昔的唯名论者一样，根本反对承认抽象的东西，甚至也不能在心造之物的有限制的意义上承认抽象的东西。结果是一样的：形式主义者把古典数学作为无意义符号的游戏保存下来。这个符号游戏仍然是有效用的——不论它作为物理学家和技艺师的一个辅助手段已表现出什么效用。但有效用不必意味着在任何严格的语言学的意义上说是有意义的。数学家在构造定理和为彼此答案的一致找到客观基础这两方面的显著成功，也不必意味着是有意义的。因为数学家们意见一致的充分根据只能在指导符号使用的规则中找到——这些句法规则与符号本身不同，是完全有意义的和可理解的。

(6)、但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。

(7)、但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的，因为所有无穷大都一样大。

(8)、毕达哥拉斯是公元前5世纪的古希腊著名数学家与哲学家，他发现了勾股定理，创立了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

(9)、布尔的看法与莱布尼茨类似.他指出,“依据正确的分类原则,我们不应再将逻辑与形而上学相关联,而应将逻辑与数学相结合”(2,p.13).而相比之下,布尔的“逻辑的数学分析”研究进路则更为成功.布尔注意到,代数式和方程可以用来表达逻辑关系,而逻辑符号的规律类似于代数符号的规律,仅有一处例外.

(10)、集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。

(11)、NBG公理系统：冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论，是设计生成同Zermelo-Fraenkel集合论与选择公理一起(ZFC)同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理而不使用公理模式。

(12)、本来想关于数理逻辑本身写一篇长文的，以表达这门课程对我思想影响的深远，但我期末考完觉得还是更想吐槽一下关于该课程的考试形式。下面是2016年数理逻辑的期末考试试题。

(13)、在我的学生时代，经典力学是最让我费神的一门课。这常常让我觉得很奇怪，因为在我学习那些通常认为更难的高级课程时，并不觉得有什么困难。现在我想我已经找到答案了。这是“文化冲击”的一个例子。从数学的角度，我期望得到一个运算法则。结果我遇到的是一些完全不同的东西——实际上是某种“文化”。下面让我来解释。

(14)、《集合论基础》的出版，是康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒进。“我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。”《集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影响的特殊贡献的开端。

(15)、但是，一如历史上前康德的存在论建立在不严格的直觉上，逻辑主义同样建立在不严格的基础上，准确说来，这一基础是算数与集合论，以及作为其基础的逻辑。皮亚诺算数公理是这样的：1)0是一个数；2)任何数的后继是一个数字；3)没有两个数有相同的后继；4)0不是任何数的后继；5)任何性质，如果0有此性质；又如果任一数有此性质，它的后继必定也有此性质；那么所有的数都有此性质。(数学归纳法)罗素从这里再向前一步：

(16)、说到解决无穷，在说到康托尔之前不得不提的就是这位先驱——波尔查诺。

(17)、(16)(美)William·Dunham 2005：《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》中译本人民邮电出版社2010年P

(18)、那罗素悖论那边又怎么样了呢？集合的概念究竟如何定义？Zermelo和Fraenkel对此提出了著名的ZF公理集合论系统，通过在公理中对集合加以限制，将罗素悖论中包含自身的集合A排除在了“集合”这一定义之外，从而从某种意义上解决了罗素悖论。然而并非ZF公理系统就完美无缺了——我们尚不知道ZF公理系统的一致性。而事实上，ZF的一致性代表着这套公理对集合概念刻画的精确性，且ZF的一致性与算术系统的一致性密切相关。稍微接触过一点ZF集合论的同学都会知道，我们可以用ZF的集合论系统来定义自然数，因而我们如果得到了ZF的一致性，也就自然得到了算术系统的一致性，进而也就确认了算术系统的不完全性。写到这里还是想叹一口气呢。

(19)、漂亮表妹的要求，哪敢不从，那就讲讲集合论的那些事儿吧。

(20)、1905年理查德(1)提出了另一个悖论，用的是同康托尔用来证明实数的基数大于整数的基数一样的途径。理查德的论述稍显繁复，牛津大学图书馆的贝里(2将其简化，并把它交给罗素，后者在1906年发表了这一悖论，并称之为“单词悖论”。每一个整数都可以通过若干种方式用单词描述出来，例如，5这个数可以表示成“five”(5)词组“thenextintegerafterfour”(4后面的下一个整数)。现在考虑那些用不多于100个英文字母进行的所有可能的描述，这样至多有27^100种描述方式，因而也势必存在由27^100种描述方式所能描述的最大有限整数。这也就意味着一定有不能用27^100种描述方式描述的整数。考虑“thesmallestnumbernotdescribablein100lettersorfewer”(无法由100个甚至更少的字母描写出来的最小的整数)这个句子，但这个数在这里却恰恰用少于100个字母就被描述出来了。

(1)、这里的9就是通常所称的“自然数的佩亚诺公理”.如果使用非形式的语言,我们可以将它们表述如下:

(2)、但是这并没有让他停止对集合论的深入研究。1897年，在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上，康托尔的集合论被其他两位数学家明确阐述对他们的工作起到巨大的推动作用。至此，集合论才开始慢慢被人们接受。